近日，兰州理论物理中心黄亮教授课题组提出了有限时间量子经典对应理论，厘清了量子混沌研究中自上世纪八十年代以来出现的有关反常能谱统计的争议，为建立量子遍历层级提供了方案。这一工作是与厦门大学王矫教授（中心客座成员）和意大利因苏布里亚大学Casati教授合作完成的，研究成果以“The Correspondence Principle, Ergodicity, and Finite-Time Dynamics”为题发表于物理学著名国际期刊《Physical Review Letters》[1]。陈振齐同学是文章第一作者，这是他接手这个工作的第十个年头。倪瑞华同学和宋亚磊博士在理论分析中也做出了重要贡献，黄亮教授是通讯作者。

玻尔对应原理是量子力学建立以及对其进行诠释的基石。正如Max Jammer所说，物理学史上几乎没有哪一个理论像量子力学依赖对应原理那样依赖某个原理[2]。对应原理的影响极为深远，但对其确切含义仍未达成完全共识。玻尔1927年在意大利Como的著名演讲中指出，对于原子光谱，考虑分立定态（discrete stationary states）以及定态之间的跃迁过程（transition processes），对应原理在这里是把每一个跃迁过程与粒子经典运动的某个谐波联系了起来[3]。

原则上，对应原理适用于所有系统。从上世纪五六十年代的随机矩阵理论开始，人们发现量子能谱或波函数的统计性质与对应的经典动力学有一定联系。比如对于经典可积系统，能谱统计是泊松的，波函数是规则的；对于经典混沌系统，能谱统计是高斯正交系综的，波函数是无规的[4]。这些特征被广泛证实。这样一来，就可以用这些特征来推断量子系统动力学性质，实现对量子系统的刻画和分类，为研究量子相变、量子多体混沌、量子计量、量子传感、量子计算等提供基础理论依据。

虽然把能谱统计作为依据在各种应用中被广泛采用，然而，从上世纪八十年代开始，人们陆续发现了很多反常：有近可积系统呈现出了高斯正交系综统计，也有混沌系统呈现出了泊松统计。这些反常动摇了上述依据的根基。

传统上考虑统计意义上的量子经典对应时，对量子系统，一般考虑半经典极限，或能级足够高（波长足够小），对经典系统，基于遍历理论，一般考虑无穷长时间极限，如图1中绿色区域所示。这一观点根深蒂固，经过长时间摸索，黄亮教授课题组意识到必须跳出这一观点的束缚。

实际中获得的量子能级总是有限的，当经典动力学具有慢弛豫性质时，时间长度不同的轨道所体现的遍历性亦有所不同，就会导致能级高度有限的能壳其统计特征与经典无穷长时间动力学遍历程度不对应。这时如果考虑能级数N附近的量子能壳和运动时间t有限的经典轨道，那么对于给定的N，这个t应该是多少？

图1. 基于统计性质的量子经典对应。绿色为传统上考虑的参数区域。红线是新提出的展现量子经典对应的条件。

课题组通过考虑一类反常（慢弛豫）最明显的系统，即伪可积弹球，包括不遍历、慢遍历、遍历但李指数为零的弹球，以及具有动力学局域化的混沌系统、典型的混沌系统等四十余种从近可积到混沌的弹球模型，并系统计算能级数高达10⁸附近的能壳，揭示了这一问题的关键：量子与经典的“分辨率”要相匹配。通过这一要求，如量子波函数能够分辨的动量方向的个数与经典有限长时间轨道所能具有的最大动量方向的数目相一致，就可以得到N与t之间的一个关系。这就是量子经典对应所需满足的条件，如图1中红线所示。

对于有限高能级，如果按照这个条件给出的时间来考察有限长时间动力学，量子和经典的遍历程度就是吻合的，并且对于所考察的很大一类弹球系统，对于从低到高的所有能级范围，包括深量子区，都具有很好的对应。这样，就为那些认为量子经典对应被破坏的情况重建了对应，澄清了这些争议。

同时，这些结果对近年来快速发展的量子多体混沌以及本征态热化假说的基础，Berry随机波假说，也给出了约束，指出对于混沌系统能级有限高的典型本征态，应该用多少个随机波叠加来得到与其统计性质相同的波函数。

这些结果扩展了对量子经典对应这一基本理论问题的认识，为建立量子遍历理论提供了方案，并有助于在各种应用中更加准确的诠释量子态的遍历性质。

这一工作得益于与国内外同行的讨论，以及国家重点研发计划、国家自然科学基金和“111”引智基地等项目的大力资助。

相关文献：

[1] Z.-Q. Chen, R.-H. Ni, Y. Song, L. Huang*, J. Wang, and G. Casati, The Correspondence Principle, Ergodicity, and Finite-Time Dynamics, Phys. Rev. Lett.134, 130402 (2025).

[2] Max Jammer,The Conceptual Development of Quantum Mechanics(McGraw-Hill, New York, NY, 1966).

[3] N. Bohr, “The quantum postulate and the recent development of atomic theory”, Nature (Supplement)121, 580-590 (1928). The content of this paper is essentially the same as that of a lecture by Bohr on the present state of the quantum theory delivered on Sept. 16, 1927, at the Volta celebration in Como, Italy.

[4]顾雁，《量子混沌》，上海科技教育出版社，1996年。