量子多体系统的困境及相变问题

发布日期：2023-11-16 作者：杨贇彤，罗洪刚编辑：内容维护管理员来源：兰州理论物理中心

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本文作者：杨贇彤 ^1,2，罗洪刚^1,2

¹兰州大学物理科学与技术学院，兰州 730000

²兰州理论物理中心和甘肃省理论物理重点实验室，兰州 730000

摘要：本文简要评论量子多体问题面临的困境及相变问题，并简要分析问题的可能根源。在此基础上，我们提出粒子的组织模式：图案（pattern）图像，是解决问题的可能途径之一。我们以最简单的量子拉比（Rabi）模型和一维横场伊辛（Ising）及相关模型为例，解释相关的物理思想和方法。

一、量子多体系统的困境

多体系统是凝聚态物理和现代统计物理研究的主要对象，其通常指的不是一个、两个或几个粒子，而是由量级 1023个有相互作用的粒子组成的聚集体。经典粒子可以区分，通常使用玻尔兹曼统计，而量子粒子包括玻色子（自旋是非负整数）或费米子（自旋是半整数），反映量子粒子的统计属性。而且量子粒子不可区分。此外，还有任意子概念，不在这里讨论。我们这儿谈的量子多体系统，主要指玻色子、费米子或这些粒子的自旋组成的系统。

量子多体问题指如何描述和理解量子多体系统的性质，是理论物理最困难，也是最具有挑战性的课题之一。有学者甚至声称，没有之一，就是最困难的课题，笔者对此表示赞同。对此类问题，如何处理呢？这里不谈特定问题的特殊处理方法，只涉及最普适的、最一般问题的处理方案。第一个就是平均场理论，其核心是将量子多体问题近似为单体问题，同时引进自洽场概念。这是一个极其优美且自然的理论框架。但遗憾的是，这样的处理只在高维（指大于临界维）是准确的。在低维，特别是一维系统，结果在定量上，甚至定性上不对。第二个是微扰处理，其基本出发点就是我们在量子力学课程上学习过的，在精确可解问题的基础上，加上小的扰动项（通常有一个小参数刻画该扰动的量级），然后对该扰动进行级数展开来近似求解附加扰动项的问题，包括非简并微扰和含时微扰（简并微扰是通过微扰解除原系统的简并度）。微扰处理在量子场论的发展过程中建立了系统的费曼图计算方案，广泛应用于量子多体系统并取得了一系列成功。但问题是该方案只适用于弱耦合（或弱相互作用）系统，否则，级数展开不收敛。第三个就是数值计算。随着计算机技术和数值算法的发展，数值计算变得越来越重要。在这方面，首先需要提到的是基于第一性原理的从头计算方法，如密度泛函理论及其扩展。其核心思想仍然是借助单粒子图像，而相互作用通过交换关联能泛函近似表达，通常也只对弱耦合（或弱相互作用）系统有效。对强耦合（或强相互作用）系统，结论定量甚至定性上不对。比如，对莫特绝缘体类强关联电子系统，其理论预言是金属（能带半满），但系统实际上是绝缘体。这类计算通常称为弱耦合方法。对强耦合（或强相互作用）系统，发展的算法通常称为强耦合方案。在这类算法中，需要提到的，第一个是精确对角化。该方法是精确的，能够得到系统全部的能级（或基态及部分低能激发态）及对应的波函数。但由于计算机资源（内存、CPU/GPU 计算速度及数据读取速度）的限制，往往只能处理小尺寸（或有限个粒子）系统。比如，对电子系统，20 个电子已经达到处理该系统的极限，而且只能得到系统的基态或少数几个低能激发态。对自旋 1/2 系统，处理的尺寸已经超过 40，但与热力学极限的要求仍然相差甚远。第二个需要提到的是基于威尔逊（Kenneth G. Wilson, 1936-2013）数值重正化群算法思想发展起来的密度矩阵重正化群算法（是处理一维格点系统的最精确的数值方法）和张量网络重正化群算法（处理二维系统的有效方法，对三维及更高维系统基本上无能为力）。但是，一维问题的解决，似乎对理解或解决一般的量子多体问题（特别是高维情况）没有提供充分的信息，正如一维哈伯德（Hubbard）模型的精确解早在1968 年就得到，但并没有为二维哈伯德模型的求解带来明确的思路。而二维或高维模型的数值求解，面临的问题是 “指数墙”困难（指描述有相互作用系统的希尔伯特空间的维数随粒子数的增加而指数增加）。第三个重要的数值方法，是基于迈绰泡利斯（Nicholas Metropolis, 1915-1999）和乌拉姆（Stanislaw Ulam, 1909-1986）在 1949 年提出的蒙特卡洛方法，并在此基础上发展起来的各种算法，如行列式蒙特卡洛方法，辅助场量子蒙特卡洛方法，连续时间蒙特卡洛方法等。基于抽样统计的数值方法，是解决多体问题非常有效的途径之一。但是，对最重要的费米子多体问题或有阻挫的自旋系统，抽样概率由于费米子统计属性或阻挫性质，会出现负的概率，阻碍蒙特卡洛方法在解决量子多体问题时的高效应用，其关键是要解决这个“负符号”问题带来的困扰。

在理论上，凝聚态物理已经形成许多成功的理论，如能带、BCS 超导以及量子霍尔效应。但是，与取得的成功相比，面临的困难更多。典型的例子是 1986 年发现的铜基超导、2008 年发现的铁基超导以及自上世纪 70 年代陆续发现的重费米子超导等，其现象及相关相图之复杂，理论上的理解或共识仍然非常有限。例如，2015 年发表在《Nature》上一篇关于铜基超导体的评论文章[1]，在不到 6 页正文中（含题目、摘要及图），至少出现了 29 个类似于 “未解决的课题” （“…unsolved issues”）、“长期悬而未决的问题”（“…long-standing question”）、“仍然不清楚”（“…still unclear”）、“一个有许多争论的问题”（“ a much debated question…”）等等字眼。在一个领域，具体到一类量子材料，有如此众多的未解决或有争论的问题，如高温超导机理、奇异金属行为、赝能隙现象、量子临界点、电荷密度波与超导的关系、甚至金属-莫特绝缘体转变的本质问题等，本身就是件很奇怪的事，甚至可能涉及到方向性问题，比如研究问题的出发点是否恰当等。究其根本，还是对高温超导相图及其相变的本质不清楚。

二、相变问题

相及相变在自然界司空见惯，比如水在不同温度及压力下的液态、气态及固态的转变以及在量子多体系统中各种态及其转变。在实验室，各种材料的制备及性质的测量，也广泛涉及到相变。因此，发现相及相变并理解它们，一直是凝聚态物理及现代统计物理研究的前沿。下面简要回顾相变研究的历史，特别是临界现象，以及目前的大致状况。

1、临界现象历史

相变的研究，最初是伴随临界现象的观察开始的。1822 年，法国科学家德拉图（Charles Cagniard de la Tour, 1777-1859）首先在实验中观察到临界现象。他将燧石球放在部分填充了液体的帕潘热压蒸锅中加热，并转动实验装置, 燧石穿过气液两相的界面发出水的拍溅声。德拉图注意到，当实验中温度远超水的沸点时，水的拍溅声在通过某个特定温度时消失了。这是最早记录的伴随相变观察到的临界现象。1869 年，安德鲁斯（Thomas Andrews, 1813-1885）发现了临界乳光现象，并提出临界点概念。1895 年，法国物理学家居里（Pierre Curie, 1859-1906）发现铁磁材料在超过某个温度时会出现退磁现象，这个温度称为居里点。同时，他注意到气液相变和铁磁相变之间的相似性，提出普适性（universality）概念，其在现代临界现象的描述中扮演重要角色。物质在临界点附近的行为可以用一系列临界指数来刻画。但是，从范德瓦尔斯（J. H. van der Waals, 1837-1923）状态方程出发，所得到的临界指数与实验并不符合，这是比利时物理学家沃沙费尔特（Jules-Emile Verschaffelt, 1870-1955）在1896 年通过对二氧化碳进行重新测量观察到的，但并未引起当时的物理学家们的重视。

2、相变的唯象理论

如何理解相变的本质？1873 年，范德瓦尔斯提出著名的范德瓦尔斯状态方程，解释气液相变的连续性。1907 年外斯（Pierre Weiss, 1865-1940）提出分子平均场理论，解释铁磁-顺磁相变。1934-1935 年布拉格（W. L. Bragg, 1890-1971）-威廉姆斯（E. J. Williams, 1903-1945）提出平均场理论解释有序-无序相变。1937 年朗道（L. D. Landau, 1908-1968）提出一个统一的唯象相变理论框架，并引进序参量以及与之相伴的对称破缺概念，奠定了现代凝聚态物理和统计物理研究的基础。

3、相变的本质？

1920 年，楞次（Wilhelm Lenz，1888-1957）提出楞次-伊辛模型解释铁磁性的起源。伊辛（Ernst Ising, 1900-1998）对一维情况进行精确求解，但并未发现系统有相变行为。他错误地将该结论推广到高维情况，得出该模型系统没有铁磁性。1944 年，昂萨格（Lars Onsager, 1903-1967）得到了经典二维伊辛模型的严格解，明确了系统有相变行为，这是现代统计物理发展过程中的里程碑工作。该精确解显示，相变点附近临界指数与平均场预言的确不一致，表明平均场理论在低维（小于临界维，后面的工作表明大于临界维，平均场理论是精确的）定量上，甚至定性上是不对的，推动了从上世纪 40 年代至今人们进一步研究相变和临界现象的热情。

20 世纪 60 年代，卡丹诺夫（Leo Philip Kadanoff, 1937-2015）和费舍尔（Michael Fisher, 1937-2021）指出相变的一般理论框架需要有“标度假设”，并由此可得出各种临界指数的“标度关系”。这一思想通过威尔逊在 1971 年引进的重正化群思想及数值实现所证实，获 1982 年诺贝尔物理学奖[2]。该奖项的贡献是“因为他的联系相变的临界现象理论”（“for his theory for critical phenomena in connection with phase transitions”）。特别是，在诺贝尔奖颁奖辞中，提到“威尔逊的临界现象理论给出了一个临界点附近行为完整的理论描述，并给出了数值计算关键物理量的方法”（“Wilson’s theory for critical phenomena gave a complete theoretical description of the behaviour close to the critical point and gave also methods to calculate numerically the crucial quantities. ”）至此，发现新的相变，并根据临界指数对相变进行分类一直是相变的实验和理论研究的主旋律，而对相变的物理本质，即为什么会发生相变以及相变如何发生等，并未得到足够的重视[3]。即使最近几十年关于量子相变和相变动力学的研究如火如荼，也还是大多局限于临界现象的描述和临界标度行为的探讨[4]。超越朗道序参量及对称破缺框架的相变理论，如拓扑相变[5]（没有明确的序参量和相关的对称性破缺，如 Berezinskii-Kosterlitz-Thouless相变所讨论的）仍在发展中，不再赘述。

三、问题的根源

1、粒子图像：太根深蒂固

在物质的各个层次上，似乎均以粒子的语言描述物理规律（量子力学中薛定谔方程用波函数表示系统状态，用二次量子化语言仍然表述为粒子的产生和消灭过程），如我们知道的自然界中的四种基本相互作用，即强、弱、电磁以及引力相互作用，前三种基本相互作用有明确的粒子传递这些相互作用。关于引力，至今还没有找到引力子，但人们倾向于相信有这样的粒子存在，甚至这样的粒子的属性都已经非常明确。在我们的课程学习和科学研究中，这种粒子图像显得理所当然，并根深蒂固。比如，在凝聚态物理中，各种低能激发也被赋予“粒子”的图像，比比皆是，正如安德森（Philip Warren Anderson, 1923-2020）论述的[6]。而且，朗道“准粒子”图像甚至是整个凝聚态物理发展的基石，成功地解释了很多物理现象，例如能带理论和 BCS 超导理论。但面临的问题也不少，比如铜基高温超导材料中的奇异金属相，人们甚至没有找到明确定义的“准粒子” [1]。不管这样的困难，即便有了粒子，我们仍然面临如“指数墙”困难和量子蒙特卡洛计算中费米子的“负符号”问题困扰。直接从粒子个体出发研究量子多体问题，人们必然面临这些困难。如何解决，似乎仍然遥遥无期。

2、安德森的“多者异也”

面临这样的困难，早在 1972 年，安德森就在《Science》杂志发表文章“多者异也”（“More is Different”）[7]，提出新思路。仍然基于粒子图像，但明确指出，粒子多了，会衍生出一些新现象，这些现象不能通过单个粒子的简单相加而得到。2000 年，Laughlin 和 Pines 在《PNAS》发表文章“万物理论”（“The Theory of Everything”）[8]，指出现阶段理论物理的重要任务不是写下一个简单方程来演算所有的问题，而是对自然界和实验室观察到的现象进行分类和理解，甚至包括生命相关的现象。但是，安德森没有告诉我们粒子多了，粒子是如何组织而导致衍生现象的。Laughlin 和 Pines 的文章也没有告诉我们分类的标准或准则。如何践行“多者异也”思想，仍然需要更多的努力。

3、“量子模拟”能解决问题吗？

以“量子计算”、“量子模拟”为代表的现代量子科技的发展，是各个国家或研究组织高度关注并投入大量人力财力物力发展的方向。由于作者并不曾在该方向开展研究，没有能力提出评论。但可以肯定的一点是，技术上的进步，并不必然意味着物理问题的自然解决，反而可能会提出更多的问题。比如，很多问题在一维情况下能精确或准确地求解，也能得到一维情况下准确的量子相变行为，但对相变的物理本质全部理解了吗？答案似乎没有。一个典型的例子是一维轴向次近邻伊辛模型（近邻铁磁与次近邻反铁磁竞争）的相图问题，至今仍然存在很多争议，原因是不同的理论或工具，刻画系统的侧重点不同，其结论也有差异，类似“瞎子摸象”。很多物理现象也能通过量子系统在实验室进行模拟，比如光晶格中超流-绝缘体转变的模拟，是量子模拟研究相变的重要进展[9]。但它揭示了相变的物理本质了吗？也没有。与固体材料中的研究相比，一个重要的优点是可以对系统进行调控，这样对相变的细节研究有重要贡献，并可能在技术上有潜在应用，但并不意味着物理问题的自然解决。另外一个例子是，通过各种近似的或数值的计算，一个比较一致的共识是二维哈伯德模型能够定性，甚至定量地重复出铜基高温超导体的相图[10]，但高温超导的机理问题至今仍然没有达成一致或没有解决。

四、敢问路在何方？

1、粒子，不只有存在，它还在运动

毋需讳言，直接基于粒子的语言，目前的处理方法仍然是不充分的。我们对待由许多粒子（或自旋）组成的系统，分为静态和动力学两部分，而对表征系统的各种序，是用粒子的静态信息（这儿不讨论动力学相变问题），比如自旋的指向（铁磁、反铁磁、亚铁磁等）或粒子的排布（如结构函数所反映的）。而动力学信息单独通过粒子激发表征。这样的处理，粒子的所有信息并没有全部表征出来。正如我们在学习牛顿力学时所知，要表征一个粒子的完整信息（粒子可能的内部信息除外），需要知道粒子的位置和速度[11]，这是其一。其二，有相互作用的粒子系统，粒子之间的运动关系（包括位置关系和速度关系）也是信息的有机组成部分。有一个例子可以满足上面所说的要素，这个例子就是用声子描述的固体格点的振动：对每个正则模式，我们都知道每个格点的位置和速度。我们的问题是，如何将这样的模式扩展到更一般的粒子或自旋组成的系统？

2、粒子的组织模式：图案

从声子模式的语言来看，有一个重要的要素：所有的模式都由同向（in phase）和反向（out-of-phase）关系组成。因此，对大多数量子多体系统（指由粒子或自旋组成的量子系统），粒子或自旋（位置或指向）以及它们的运动（速度或翻转）之间应该由基本的同向或反向关系组成。这种组织模式，是由系统的哈密顿量（Hamiltonian）决定的，我们称之为图案（pattern）[12]。这样，我们从哈密顿量出发，由组成系统的粒子（自旋）的位置（指向）以及它们的速度（翻转）信息（或相关信息如动量或粒子的占据或跃迁）组成的算符空间中对角化而得到，作为我们处理量子多体问题的出发点。

3、最初的尝试

我们首先以量子拉比（Rabi）模型为例，尝试以上方案。该模型在弱耦合情形处于正常相，在强耦合情形处于超辐射相，因而存在一个从正常相到超辐射相的临界耦合强度。我们通过图案语言（对角化模型哈密顿量得到三个基本图案：𝜆1，𝜆2，𝜆3）分解这个相变如何发生：图案𝜆1在增加耦合强度至临界耦合强度时，迅速获取能量，是相变发生的驱动者；图案𝜆2迅速响应，并获取正能量，是系统相变的监视者；图案𝜆3然后被激发，并代替图案𝜆2与图案𝜆1抗衡，稳定新形成的超辐射相，扮演新相的稳定者。这样，正常相被超辐射相所替代，系统进入一个新的相。细节可参考我们的预印本文章[12]。

第二个例子是一维横场伊辛（Ising）模型[13-16]。众所周知，这个模型在弱场情形（g < J）处于铁磁相，在强场情形（g > J）处于顺磁相。与量子拉比模型一致，强场对应弱耦合（弱相互作用）情形，是顺磁相；弱场对应强耦合（强相互作用）情形，是铁磁相。对有限格点系统（如L = 8），图案𝜆1表示铁磁排列，在铁磁相起到支配作用；图案𝜆2,3、𝜆4,5、𝜆6,7和𝜆8表示自旋上下按一定的规律交替排列，分别对应两个、四个、六个和八个磁畴/扭结，这些图案在顺磁相起作用。图案𝜆9在相变点附近贡献最大，是量子涨落的作用。图案表示以及它们随耦合（或相互作用）强度的变化，清楚地显示铁磁-顺磁相变为什么发生以及如何发生，所见即所得[13]。加纵场之后，系统不再可积，基态相变消失，我们首次发现第一激发态有一个一级相变，图案表示能够清楚的显示一级相变发生的过程[14]。对反铁磁横场伊辛模型，加纵场后基态相变并不消失，这是已经知道的结论。但在有限纵场情况下[15]，系统增加了一个类铁磁相和类反铁磁相（自旋的 z-分量排列与铁磁和反铁磁相一样），这两个相都是不稳定相（或亚稳相），在强相互作用区域，演变成真正的反铁磁相（图案𝜆1起到支配作用）。考虑近邻铁磁相互作用和次近邻反铁磁相互作用的竞争（有阻挫情形），即一维轴向次近邻横场伊辛模型（该模型的相图自该模型提出伊始就存在争论，至今仍没有得到解决），其中的物理一目了然。弱阻挫情形，系统处于铁磁相；强阻挫情形，系统处于反相（antiphase），即上上-下下自旋交替排列。这两个相是明确的，但二者之间的区域，争论不休。我们的结果表明，中间是两个、四个、六个、...... 畴/扭结（domains/kinks）。具体数值，依赖于格点尺寸，如格点尺寸为L = 4n（n为自然数），铁磁相对应所有自旋指向一致，并且自旋翻转的步调也一致；反相则对应2n个畴/扭结。中间区域，与其说是相变，不如说是渡越（crossover），因为包含依次不同畴/扭结的态，很难确定序参量及相关的对称性。更详细的信息，可参考预印本原文[16]。

从粒子或自旋的有组织的模式（图案）出发，探索相及相变的物理本质，并促进对量子多体问题的解决，是我们的基本思路，并在量子拉比模型和一维伊辛类模型（有限格点）得到成功应用。该方法最大的优点是“所见即所得”，完美地体现了相和相变物理的整体性、简洁性和朴素性。除了与已有的结论一致外，还对解决相关的争论有帮助。这些研究还只是一个引子，后面的路“长且阻”。我们以《西游记》电视剧主题曲结束本文，“敢问路在何方？路在脚下。”

致谢：近半年来，笔者之一（罗洪刚）曾受邀在（按报告时间先后）内蒙古科技大学、兰州大学、昆工物理前沿论坛（大理大学承办）、华南理工大学、华南师范大学、广东工业大学、渤海大学、浙江大学、湖南大学、第六届西北理论物理前沿学术研讨会、重庆大学、2022 年度兰州理论物理中心年会上为有关师生报告，本文基于报告相关内容整理而成。感谢黄亮和周宗胜阅读全文并提出修改建议。相关工作得到国家重大研究计划（合同号：2022YFA1402704）和国家自然科学基金（合同号：11834005、12047501、12247101）资助。特别感谢基金委理论物理专款对“兰州大学理论物理交流平台”（2010-2020）和“兰州理论物理中心”（2021-）的支持和甘肃省科技厅对“甘肃省理论物理重点实验室”的支持。

参考文献：

[1] B. Keimer, S. A. Kivelson, M. R. Norman, S. Uchida & J. Zaanen, Nature 518, 179 (2015).

[2]https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1982/press-release/

[3] M. Kastner, Phase transitions and configuration space topology, Rev. Mod. Phys. 80, 167 (2008).

[4] S. Sachdev, Quantum phase transitions, 2ed. (Cambridge University Press, Cambridge, 2011).

[5]https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2016/press-release/

[6] P. W. Anderson, Concepts in solids (World scientific publishing, 1997).

[7] P.W. Anderson, More is different. Science 177, 393-396 (1972).

[8] R. B. Laughlin and D. Pines, The theory of everything, PNAS 97, 28 (2000).

[9] M. Greiner, O. Mandel, T. Esslinger, T. W. Hänsch & I. Bloch, Quantum phase transition from a superfluid to a Mott insulator in a gas of ultracold atoms, Nature 415, 39–44 (2002).

[10] Y. Wang, Y. He, K. Wohlfeld, M. Hashimoto, E. W. Huang, D. Lu, S. Mo, S. Komiya, C. Jia, B. Moritz, Z. Shen, T. P. Devereaux, Emergence of quasiparticles in a doped Mott insulator, Communications Physics 3, 210 (2020).

[11] John R. Taylor, Classical mechanics (University Science Books, 2005).

[12] Yun-Tong Yang and Hong-Gang Luo, Dissecting superradiant phase transition in the quantum Rabi model, arXiv:2212.05186 (2022).

[13] Yun-Tong Yang and Hong-Gang Luo, Dissecting quantum phase transition in the transverse Ising model, arXiv:2212.12702 (2022).

[14] Yun-Tong Yang and Hong-Gang Luo, First-order excited-state quantum phase transition in the transverse Ising model with a longitudinal field, arXiv:2301.02066 (2023).

[15] Yun-Tong Yang and Hong-Gang Luo, Pattern description of quantum phase transitions in the transverse antiferromagnetic Ising model with a longitudinal field, arXiv:2301.05040 (2023).

[16] Yun-Tong Yang and Hong-Gang Luo, Pattern description of the ground state properties of the one dimensional axial next-nearest-neighbor Ising model in a transverse field, arXiv:2301.08891 (2023).

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量子多体系统的困境及相变问题

一、量子多体系统的困境

二、相变问题

三、问题的根源

四、敢问路在何方？

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